[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Ta estetyzująca tendencja idzie dzisiaj aż tak daleko, że ze względu na prostotę preferuje się mniej oczywisty aksjomat przed wieloma oczywistymi.Nie wymieniliśmy tutaj jeszcze jednego wymagania, o którym wspomnieliśmy już poprzednio, a mianowicie ścisłej formalizacji.Jednakże wymaganie to jest ściśle przestrzegane tylko przez logików matematycznych, matematycy postępują zwykle o wiele swobodniej i często posługują się intuicją.System konstytucyjny.Współczesny system aksjomatyczny zawiera nie tylko aksjomaty, reguły wnioskowania i zdania wyprowadzone, lecz także - i przede wszystkim - tak zwany system konstytucyjny [Konstitutionssystem], który może być uznany za aksjomatyczny system wyrażeń.Jest on zbudowany całkowicie analogicznie do aksjomatycznego systemu zdań, tak jak ten ostatni zawiera również trzy rodzaje elementów i jest konstruowany w następujący sposób.Najpierw określona zostaje klasa wyrażeń, które mają funkcjonować jako wyrażenia pierwotne.Przyjmuje się je do systemu bez definicji.Do tego dołącza się reguły, według których do systemu można wprowadzić nowe wyrażenia atomowe (reguły definiowania) i tworzyć wyrażenia złożone (reguły formowania).Wykorzystując te reguły definiuje się nowe wyrażenia za pomocą wyrażeń pierwotnych albo tworzy się nowe wyrażenia z pierwotnych.W trakcie każdego kroku zostaje dokładnie podane, które wyrażenia pierwotne i reguły były użyte.Na podstawie tak zdefiniowanych wyrażeń (względnie utworzonych przez złożenie) wprowadza się znowu (przy użyciu albo bez użycia wyrażeń pierwotnych) nowe wyrażenia.Postępuje się w ten sposób tak długo, jak to jest konieczne.Cały ten proces przebiega dokładnie równolegle do procesu, w którym tworzy się system zdań.Jest jednak jasne, że system konstytucyjny leży u podstaw systemu zdań, gdyż zanim można określić, które zdania mają obowiązywać, trzeba już wiedzieć, które wyrażenia są obowiązujące.Ale to właśnie jest zdeterminowane przez reguły systemu konstytucyjnego.Dokładnie biorąc, reguły te są trojakiego rodzaju:1.Reguła, która określa, jakie wyrażenia przyjmowane są jako pierwotne.2.Reguły definiowania, które określają, w jaki sposób można wprowadzić nowe wyrażenia atomowe.3.Reguły formowania, według których z już zawartych w systemie wyrażeń wolno tworzyć dalsze (molekularne) wyrażenia.Ostatnie z wymienionych reguł zostały już omówione w paragrafie poświęconym syntaksie.Reguła pierwszego rodzaju nie potrzebuje specjalnych rozważań, natomiast stosowne byłoby teraz omówienie różnych rodzajów definicji.Ponieważ łączą się one ściśle z metodologicznie ważnymi problemami naukowego tworzenia pojęć, omówimy je w specjalnym paragrafie.Dedukcja progresywna i regresywna.Patrząc z zewnątrz, konstrukcja sformalizowanego systemu aksjomatycznego wydaje się zawsze progresywna, tzn.że najpierw ustanawia się zasady.(aksjomaty i reguły), potem zaś, w oparciu o nie, dokonuje się wnioskowania.Jednak w rzeczywistości nie każda dedukcja jest progresywna, lecz należy odróżnić dwa rodzaje wnioskowania dedukcyjnego: dedukcję progresywną i regresywną.Obie są rzetelnymi dedukcjami, tzn.że prawdziwość przesłanek jest już znana, natomiast dopiero szuka się prawdziwości wniosków.Można jednak, niezależnie od tego, wyjść albo od już ustalonych przesłanek, albo od wniosku, który ma być właśnie dowiedziony.Dowody Euklidesa są przykładem dedukcji regresywnej: najpierw formułuje się zdanie, które ma być dowiedzione, potem wprowadza się konieczne dla dowodu, wcześniej już uznane, prawa.W przeciwieństwie do tego zwykłe liczenie jest w większości wypadków przeprowadzane w formie progresywnej: ostateczny wniosek formułuje się dopiero na końcu.Jeżeli się zapytamy, która z tych dwóch rodzajów dedukcji występuje częściej w praktyce naukowej, to okaże się, że w większości wypadków najpierw formułuje się wnioski, a dopiero potem szuka się dla nich uzasadnienia, tzn.że postępuje się regresywnie.Dobrze znany jest np.fakt, że wielkie odkrycia matematyczne dochodziły do skutku właśnie w ten sposób: odkrywca najpierw formułował twierdzenie, którego dowód przeprowadzał dopiero o wiele później, chociaż na podstawie dawno już znanych przesłanek.Z tego jednak nie wynika, że we współczesnych naukach dedukcyjnych dedukcja progresywna nie odgrywa żadnej roli.Przeciwnie, każde obliczanie jest oczywiście, jak to zostało zaznaczone wyżej, dedukcją progresywną.Należy dodać jeszcze jedną uwagę.Sama aksjomatyzacja jest całkowicie neutralna nie tylko w odniesieniu do tych dwóch rodzajów dedukcji, lecz także w odniesieniu do dedukcji i redukcji.Można równie dobrze aksjomatyzować zarówno na bazie wcześniej uznanych aksjomatów, jak też wcześniej uznanych wniosków.Tylko dlatego omawiamy tę metodę w paragrafie dotyczącym dedukcji, ponieważ aksjomatyzacja jest abstrakcją z żywego procesu dedukcji progresywnej i odzwierciedla jego strukturę.14.Logika matematycznaZnaczenie metodologiczne.Nie może być zadaniem tej książki danie zarysu logiki matematycznej, gdyż logika ta jest logiką formalną, tutaj natomiast chodzi o metodologię, którą, jak to już wielokrotnie podkreślaliśmy, należy odróżnić od logiki.Jednakże krótkie omówienie, jeżeli nie systemu logiki matematycznej, to przynajmniej kilku jej ogólnych własności, mogłoby być tutaj na miejscu.Logika matematyczna (jak zresztą każda logika formalna) może być rozważana z dwojakiego punktu widzenia.Z jednej strony, można ją traktować jako pewną naukę teoretyczną, która bada własne, czysto teoretyczne problemy.Jako taka logika zawiera między innymi badania dotyczące najkrótszego i jedynego aksjomatu, z którego dałyby się wyprowadzić wszystkie prawa logiczne, albo badania dotyczące jedynego funktora, za pomocą którego dałyby się zdefiniować wszystkie funktory jakiejś dziedziny logiki.Tak widziana, logika matematyczna jest pewną nauką specjalną, która tutaj nas nie interesuje.Z drugiej strony, logika formalna, jak to już zauważyliśmy, tworzy bazę dla dedukcyjnych reguł wnioskowania, a poza tym także odgrywa pewną rolę w procesach naukowego myślenia.Zwolennicy logiki matematycznej twierdzą, że jest ona logiką formalną, jedyną dzisiaj naukową logiką formalną.Z tego punktu widzenia nie powinno zabraknąć omówienia tej nauki w ramach metodologii dedukcyjnej.Logika matematyczna posiada nie tylko czysto teoretyczne, spekulatywne znaczenie, lecz także metodologiczne.Faktycznie w ostatnim czasie logika matematyczna wywarła szczególnie duży wpływ na metodologię, a to z dwóch powodów
[ Pobierz całość w formacie PDF ]