[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.74) tej metody le¿¹ w kolejednostkowym, przy czym pierwiastki o module równym jednoœci s¹ pojedyncze.Stabilnoœæ okreœlon¹ w powy¿szej definicji nazywa siê stabilnoœci¹ Dahlquista(lub zerostabilnoœci¹).Metodê wielokrokow¹ nazywamy silnie stabiln¹, jeœlijedynym pierwiastkiem wielomianu o module 1 jest pierwiastek równy 1.Jeœlioprócz pierwiastka z = 1 istniej¹ inne pierwiastki o module równym jednoœcimetoda jest s³abo stabilna.Wszystkie metody (6.65) - (6.66) s¹ silniestabilne.Zerostabilnoœæ metody wielokrokowej gwarantuje istnienie numerycznegorozwi¹zania asymptotycznego.Mo¿na j¹ uwa¿aæ za w³asnoœæ metody, powoduj¹c¹„wygaszanie” cz³onów paso¿ytniczych w rozwi¹zaniu przybli¿onym, powstaj¹cychwskutek zast¹pienia pochodnej pierwszego rzêdu wyra¿eniami ró¿nicowymi rzêdówwy¿szych ni¿ pierwszy.Oprócz zerostabilnoœci istotne jest jeszcze okreœlenie stabilnoœci numerycznejtzn.zbadanie warunków, przy których nie wystêpuje narastanie b³êdunumerycznego.Stabilnoœæ ta jest badana, tak samo jak w metodzie Rungego-Kutty,dla modelowego zagadnienia (6.50).Po zaburzeniu wartoœci funkcji na kroku i+j³atwo stwierdzamy, ¿e o zachowaniu siê b³êdów decyduje wielomian stabilnoœcinumerycznej(6.77)Liniow¹ metodê wielokrokow¹ nazywamy absolutnie stabiln¹, jeœli pierwiastkiwielomianu spe³niaj¹ nierównoœæ(6.78)W przeciwnym wypadku metoda jest absolutnie niestabilna.Liniow¹ metodê wielokrokow¹ nazywamy wzglêdnie stabiln¹, jeœli pierwiastkiwielomianu spe³niaj¹ nierównoœæ(6.79)W przeciwnym razie metoda jest wzglêdnie niestabilna.Stabilnoœæ wzglêdnaoznacza, ¿e b³¹d narasta wolniej ni¿ rozwi¹zanie zagadnienia ró¿niczkowego.Dla metod absolutnie stabilnych i metod wzglêdnie stabilnych mo¿na okreœliæodpowiednie przedzia³y otwarte (a, b) zawieraj¹ce takie wartoœci którezapewniaj¹ te dwa rodzaje stabilnoœci.W przypadku metod (6.65) dolne graniceprzedzia³u stabilnoœci absolutnej wynosz¹:a w przypadku metod (6.66) wartoœci s¹ nastêpuj¹ce:A wiêc istotnie metody niejawne maj¹ znacznie wiêkszy przedzia³ stabilnoœciabsolutnej w porównaniu z metodami jawnymi.*{Program 6.4}usesCrt;vari,k,n: Integer;a,b,bl,eps,f1,f2,f3,f4,h,x,x1,x2,x3,x4,ya,yp: Real;y: array[0.100] of Real;plik: Text;function f(x,y: Real): Real;beginf:=y-2*x/y;end;function yd(x: Real): Real;beginyd:=Sqrt(2*x+1);end;beginAssign(plik,'Pr_6_4.wyn');Rewrite(plik);Writeln(plik,'PROGRAM 6.4');Writeln(plik,'Zagadnienie poczatkowe dla rownania');Writeln(plik,'rozniczkowego zwyczajnego.');Writeln(plik,'Metoda predyktor-korektor.');Writeln(plik); ClrScr;Writeln('PROGRAM 6.4.Dane do obliczen:');Write(' - poczatek przedzialu: a = '); Readln(a);Write(' - koniec przedzialu: b = '); Readln(b);Write(' - liczba podprzedzialow: n = '); Readln(n);Write(' - warunek poczatkowy: ya = '); Readln(ya);Writeln(plik,'Poczatek przedzialu: a = ',a:13);Writeln(plik,'Koniec przedzialu: b = ',b:13);Writeln(plik,'Liczba podprzedzialow: n = ',n:3);Writeln(plik,'Warunek poczatkowy: ya = ',ya:13);Writeln(plik);Write(' - krokowosc wzoru: k(1.4) = '); Readln(k);Write(plik,'Predyktor: ',k:1,'-krokowy wzor Adamsa-');Writeln(plik,'Bashfortha.');Writeln(plik,'Korektor: ',k:1,'-krokowy wzor Adamsa-Moultona.');Write(' - dokladnosc obliczen: eps = '); Readln(eps);Writeln(plik,'Dokladnosc obliczen: eps = ',eps:2);Writeln(plik);Writeln(plik,'Obliczone wartosci funkcji:');Writeln(plik,' i x[i] y[i] blad');h:=(b-a)/n;for i:=0 to k-1 do beginx:=a+i*h;Writeln(plik,i:3,' ',x:13,' ',yd(x):13,' ',yd(x)-yd(x):13);end;for i:=0 to n doy[i]:=yd(a+i*h);for i:=k to n do beginx:=a+i*h;x1:=x-h; x2:=x1-h;x3:=x2-h; x4:=x3-h;f1:=f(x1,y[i-1]);if k>1 then f2:=f(x2,y[i-2]);if k>2 then f3:=f(x3,y[i-3]);if k>3 then f4:=f(x4,y[i-4]);case k of1: y[i]:=y[i-1]+h*f1;2: y[i]:=y[i-1]+h*(3*f1-f2)/2;3: y[i]:=y[i-1]+h*(23*f1-16*f2+5*f3)/12;4: y[i]:=y[i-1]+h*(55*f1-59*f2+37*f3-9*f4)/24;end;repeatyp:=y[i];case k of1: y[i]:=y[i-1]+h*(f(x,yp)+f1)/2;2: y[i]:=y[i-1]+h*(5*f(x,yp)+8*f1-f2)/12;3: y[i]:=y[i-1]+h*(9*f(x,yp)+19*f1-5*f2+f3)/24;4: y[i]:=y[i-1]+h*(251*f(x,yp)+646*f1-264*f2+106*f3-19*f4)/720;end;bl:=Abs(y[i]-yp);until (bl
[ Pobierz całość w formacie PDF ]